La philosophie de la pratique des mathématiques est l’intitulé du séminaire annuel de Timothy Gowers, professeur titulaire de la Chaire Combinatoire. Les différents intervenants interrogeront, entre autres, le rôle l’axiomatique, les preuves mathématiques, la phénoménologie et les phénomènes mathématiques, la subjectivité des jugements sur le degré d’intérêt des énoncés mathématiques, les capacités de raisonnement mathématique des modèles de langage.

Programme

Le séminaire se tiendra sur six séances, tous les lundis du 10 octobre au 14 novembre, de 14h à 15h, au Collège de France, salle 5 (site Marcelin Berthelot).

Lundi 10 octobre 2022

Séance 1 : Quel rôle pour l’axiomatique aujourd’hui ? Paola Cantù, Université Aix-Marseille

Résumé : Le traitement axiomatique des théories scientifiques était au cœur du programme de philosophie de la logique et des mathématiques du début du XXe siècle et a été une caractéristique fondamentale de la philosophie des sciences jusqu’à l’empirisme logique au moins. Plus récemment, la philosophie générale des sciences s’est orientée vers des approches moins systématiques, approches qui, en sapant l’unité de la science à différents niveaux, ont aussi remis en question l’unité méthodologique basée sur l’axiomatisation des théories.

Les mathématiques sont-elles en phase avec les autres sciences ou ont-elles encore un intérêt pour l’axiomatique ? Et si cet intérêt n’est plus lié à la question des fondements, que peut-on encore comprendre de l’axiomatique et quels pourraient être ses objectifs ? En considérant la relation entre l’axiomatique et la pratique mathématique, le rôle social et architectural de l’axiomatique passe au premier plan.

Lundi 17 octobre 2022

Séance 2: Recipes and Instructions in Mathematical Proofs - Fenner Tanswell, Vrije Universiteit Brussel

Résumé: What is a mathematical proof? What role do proofs play in mathematical knowledge? The standard model is that a proof is a logically structured sequence of assertions, beginning from accepted premises and proceeding by established inference rules to a conclusion. In this talk, I will offer an alternative model, the recipe model of proof, which sees proofs as providing instructions for a process of mathematical reasoning. To support this model, I’ll show some results from a corpus linguistics study of maths preprint articles from the arXiv looking at the prevalence of instructions in the written language of proofs. I’ll then argue that this model provides a different perspective on both the logical structure of real proofs, and the kinds of knowledge proofs generate and communicate.

Lundi 24 octobre 2022

Séance 3 : De la phénoménologie aux phénomènes mathématiques - Frédéric Patras, Université Côte d’Azur

Résumé : La phénoménologie husserlienne a joué un rôle important dans la philosophie des mathématiques françaises (chez Cavaillès, Desanti ; Vuillemin au Collège de France). Pour autant, la méthode phénoménologique n’est que partiellement compatible avec la tradition épistémologique française, qui a toujours pensé une certaine forme de nécessité des objets mathématiques, là où la phénoménologie tend à insister sur le rôle constitutif de la conscience. C’est tout le sens du testament philosophique de Cavaillès et de son programme d’une « philosophie du concept ». Le rapport à l’histoire pose également problème, avec d’un côté une approche plutôt archéologique (celle du Husserl de L’Origine de la Géométrie), et de l’autre un intérêt dirigé plutôt sur les dynamiques de création conceptuelle et les nécessités sous-jacentes. L’exposé reviendra sur ce contexte épistémologique et le précisera, pour revisiter ensuite ces questions à la lumière de la pratique mathématique et de ce que la méthode phénoménologique peut apporter aujourd’hui pour parler des « phénomènes mathématiques ».

Lundi 31 octobre 2022

Séance 4 : Les jugements sur le degré d’intérêt des énoncés mathématiques sont-ils nécessairement subjectifs ? Timothy Gowers

Résumé : Le mathématicien Akshay Venkatesh a récemment écrit un essai sur l’effet possible sur la pratique mathématique des progrès dans le domaine de la preuve automatique de théorèmes, et en particulier sur nos jugements de valeur concernant les théorèmes. Je soutiendrai que si les ordinateurs deviendront capables de prouver des théorèmes intéressants, ils devront alors porter des jugements de valeur pour eux-mêmes, et que ces jugements refléteront des propriétés objectives du vaste réseau d’énoncés mathématiques bien formés, tout comme les nôtres.

Lundi 7 novembre 2022

Séance 5 : Sur les capacités de raisonnement mathématique des modèles de langage - Stanislas Polu, OpenAI

Lundi 14 novembre 2022

Séance 6 : A Dialogical Account of Proofs in Mathematical Practice - Catarina Dutilh Novaes, Vrije Universiteit Amsterdam et Université de St Andrews